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Música e Matemática

Já sabemos que a música possui relação muito afetiva com a matemática, mas uma construção de ideia riquíssima como a de François Brunault no artigo de Ciências Clássicas e Naturais em CASA info n° 77 – DECEMBRE 2002.

Acompanhe a tradução desse trabalho original em Francês.

Para mais assuntos musicais e de aprendizado indicamos o blog Avançando Na Música.

Leia um pouco também sobre frequência para entender melhor o trabalho abaixo.

Trabalho sobre música François Brunault

Felizmente, você não precisa ser bom em matemática para gostar de música.

No entanto… “A música é um exercício de aritmética secreta e quem se dedica a ela não sabe que lida com números” (Leibniz, 1712)

A experiência pitagórica Pitágoras (c. 569-475 aC. J.-C.) ) já percebeu que números inteiros podem explicar a harmonia dos sons.

Pouco se sabe sobre a vida de Pitágoras. Originário da ilha de Samos, no Mar Egeu, ele viajou muito e acredita-se que durante suas viagens aprendeu matemática babilônica e egípcia.

Os babilônios e egípcios já estavam bem avançados nessa época, mas Pitágoras estava interessado em números para si próprios.

Ele se mudou para Crotona, sul da Itália (na época sob domínio grego), com Milo, um atleta talentoso, doze vezes vencedor dos Jogos Olímpicos e Pítios. Milo teve o bom gosto de se interessar por matemática e filosofia.

Graças a ele, Pitágoras fundou a Fraternidade Pitagórica, um forte grupo de várias centenas de discípulos com práticas um tanto obscuras.

Os membros da Fraternidade Pitagórica adoravam Número. Eles se empenharam em estudar os números inteiros (1, 2, 3, …) bem como as relações de proporção entre esses números, ou seja, os números racionais, também chamados de frações (1/2, 1/3 ,…).

Eles acreditavam que apenas os números capturavam a verdadeira natureza do universo. Platão (427-327 aC) acreditava que os números são “a própria essência da harmonia cósmica e interna” (o platonismo matemático consiste em pensar que os objetos matemáticos têm uma existência independente do mundo sensível).

Agora chegamos ao experimento pitagórico. De acordo com Jamblique (c. 250-330 dC), autor de uma Vida de Pitágoras, este último um dia passou pela oficina de um ferreiro e ouviu os martelos batendo no ferro.

Algumas combinações de sons eram harmoniosas, outras menos. Ele estudou os martelos e descobriu que dois sons eram harmoniosos quando as massas dos dois martelos correspondentes estavam em uma proporção simples de números inteiros.

Quer esta história seja verdadeira ou apenas uma lenda, parece que Pitágoras foi o primeiro a destacar o fato de que o ouvido humano é sensível às relações de frequência simples existentes entre os sons (frequência é um número que mede o tom de ‘um som, veja abaixo).

O experimento pitagórico também pode ser realizado com outras mídias. Pode-se admirar, por exemplo, um belo dispositivo no Museu Nacional da Idade Média em Paris.

Se considerarmos uma corda de violão, podemos realizar o experimento pitagórico vibrando a corda inteira e, em seguida, puxando-a em diferentes lugares. Se o comprimento delimitado por esta pinça estiver em relação simples (ou seja, 1/2, 1/3, 2/3, …) com o comprimento total da corda, o novo som produzido (que é mais alto) estará em harmonia com o primeiro.

A constituição da gama A palavra gama vem da letra que diz gama. Embora todos já estejam familiarizados com a famosa enumeração “Do – Re – Mi – Fa – Sol – La – Si – Do”, a gama tem uma longa história.

Vamos nos fazer a seguinte pergunta aparentemente inocente: já que a frequência de um som pode variar continuamente, por que favorecer certas notas (Do, Re, …, Do) em detrimento de outras?

E por que há nomes de sete notas (ou doze, se você incluir as teclas pretas do piano)? O experimento pitagórico, descrito acima, fornece uma resposta inicial a essa pergunta.

As razões de frequência simples receberam nomes especiais. O intervalo que corresponde a uma relação de frequência de 2 é chamado de oitava. A oitava é extremamente natural: quando um homem e uma mulher cantam a mesma melodia juntos, costumam fazê-la com um intervalo de uma oitava, na maioria das vezes sem perceber.

A oitava é o intervalo fundamental que define a escala. Este é o intervalo que existe entre o primeiro e o segundo C na lista “Do – Re – Mi – Fa – Sol – A – B – Do”. Pela experiência de Pitágoras, agora é natural procurar outras proporções simples nesta oitava de frequências, a fim de constituir a faixa. Do ponto de vista matemático, é como procurar números racionais entre 1 e 2. Os intervalos correspondentes às razões 3/2, 4/3 são chamados de quinto e quarto, respectivamente.

Por exemplo, a oitava pode ser dividida em uma quinta e uma quarta. Isso se traduz matematicamente em igualdade.

A ideia natural de formar a escala é escrever uma sucessão de intervalos ascendentes de quintas e calcular as frequências associadas. Se partirmos de uma nota de referência de frequência F0 = 1, as frequências sucessivas são etc …

Vemos que: = 129,746 está perto de 2 à potência de 7 = 128; em outras palavras, um intervalo de doze quintos é próximo a um intervalo de sete oitavas. Agora temos doze notas F0, F1, …, F11.

O problema é que essas notas estão fora do intervalo fundamental de uma oitava [F0, 2F0]. Eles podem ser trazidos de volta a este intervalo por mudanças de oitava; isso equivale a dividir cada uma das frequências F0, F1, …, F11 por uma potência apropriada de 2. S

e fizermos este trabalho, classificando as frequências obtidas em ordem crescente, obtemos doze notas distribuídas no intervalo [F0, 2F0]. Eles recebem os nomes “C – C # – Ré- Ré # – Mi – Fa – F # – Sol – Sol # – La – La # – Si”.

O símbolo # lê o hash; dizemos que a nota foi alterada. As notas naturais correspondem às teclas brancas de um piano, enquanto as notas diésée correspondem às teclas pretas. Podemos nos referir a [1] para um estudo matemático posterior.

A escala que acabamos de descrever é chamada de escala natural (pitagórica).

Existem várias variações desta faixa, como a faixa de Zarlino, padre e músico italiano (1517-1590). Todas essas variantes respeitam o mesmo princípio: as relações entre as diferentes frequências são números racionais (os intervalos correspondentes são harmoniosos). Esses são intervalos naturais.

Um dos problemas com a escala natural é que os doze intervalos (chamados semitons) que compõem a oitava são desiguais. Isso não é nada chocante do ponto de vista musical, mas dificulta a transposição (a transposição consiste em escrever a escala a partir de uma nota diferente de C, por exemplo, D).

A faixa temperada resolve esse problema. Para formar essa escala, é decretado que a oitava deve ser dividida em doze intervalos iguais, chamados semitons temperados. Se denotarmos por R a razão de frequência correspondente a um desses intervalos (não importa qual: eles são iguais), devemos ter R elevado à potência de 12 = 2, o que dá R = 12ª raiz de 2 = 1,059 .

Na linguagem acadêmica, dizemos que o semitom temperado é a média geométrica dos doze semitons naturais. Isso nos permite entender melhor (não é?) O termo “temperado” …

Por exemplo, o quinto temperado, que é composto de sete semitons temperados, é caracterizado pela relação R à potência de 7 = 1,498 = 3 / 2 Felizmente, a quinta temperada está bem próxima da quinta natural. A escala temperada foi proposta pelo pai de Galileu (c. 1520-1591), músico profissional e aluno de Zarlino.

Sendo (ligeiramente) musicalmente errado, foi considerado monstruoso em seus primeiros dias. O Cravo Bem Temperado de Johann Sebastian Bach (1685-1750), datado de 1722 e 1744, contribuiu para sua aceitação.

Esta famosa obra inclui dois livros, cada um contendo 24 prelúdios e fugas, escritos nas 12 tonalidades maiores e as 12 tonalidades menores correspondentes.

A escala moderada foi definitivamente adotada em meados do século XIX. A esta altura, nossos ouvidos estão bastante acostumados a essa escala, então uma terça maior natural (definida por uma razão de frequência de 5/4) parece errada para nós!

Estudo Físico do Som Um som é caracterizado por quatro fatores: sua altura, duração, intensidade e timbre. O tom de um som é medido pela frequência, que é expressa em Hertz (Hz).

A duração é obviamente expressa em segundos (S). A intensidade é medida pelo nível de som, expresso em decibéis (dB).

A quantificação do timbre é um problema mais delicado que discutiremos apenas parcialmente.

Aqui, vamos nos concentrar em alguns aspectos físicos simples do som. O som viaja pelo ar (ou outra mídia) por meio de uma onda, chamada de onda acústica.

O som se origina de uma mudança repentina na pressão do ar, uma mudança que se propagará por meio de ligeiras sobrepressões e depressões sucessivas.

Pode-se ter em mente a imagem das ondulações formadas ao bater na superfície de um lago.

Essas ondas têm várias características: a velocidade de propagação v, o comprimento de onda A (que é a distância entre dois picos sucessivos da onda), o período T e a amplitude h (que é a diferença de altitude entre uma crista e o nível da lagoa). Temos a relação v = A / T.

Uma observação fundamental é que a velocidade de propagação v depende apenas do meio de propagação (a lagoa), e não das características do choque inicial. Assim, no ar e em condições normais, o som se propaga na velocidade v = 340 m / s.

Essa velocidade não deve ser confundida com a velocidade do próprio ar (que geralmente é fixa). A frequência f de um som é definida pela fórmula f = 1 / T. Nesta fórmula, T é expresso em segundos e f em Hertz. A nota mais baixa de um piano corresponde à frequência f = 27,5 Hz, enquanto para a nota mais alta temos f = 4186 Hz. Pequeno exercício: quantas oitavas um teclado de piano inclui?

A intensidade de um som é a razão entre a potência da onda acústica, expressa em Watt (W), e a superfície na qual essa potência é medida. A intensidade é, portanto, expressa em potência de W.m -2.

Isso permite entender por que um som se atenua com a distância e até mesmo calcular com precisão essa atenuação. Quando o ouvido percebe sons de respectivas intensidades I, 2I, 4I, ele julga que a diferença de intensidade entre os sons I e 2 I é a mesma que entre 2 I e 4 I. Ou seja, quando se trata de intensidade, o ouvido é sensível a relatos e não a diferenças.

Dizemos que o ouvido funciona de forma logarítmica. Isso explica porque a quantidade útil é o nível sonoro L, definido pela fórmula onde I é a intensidade do som considerado e é uma intensidade de referência correspondente a um limite de audibilidade. O nível de som é expresso em decibéis (dB).

Para dar uma ordem de magnitude, um pianíssimo (pp) corresponde a 30 dB e um fortíssimo (ff) corresponde a 90 dB. Quantizar o timbre de um som envolve ferramentas matemáticas mais sofisticadas, como a decomposição de uma função da série de Fourier. Para abordar essa questão sem entrar em detalhes terríveis, é mais conveniente realizar o seguinte experimento.

Toque uma nota em um piano, pressionando a tecla com força (reserve um tempo para se sentar antes, soa mais sério). Se você ouvir com atenção, poderá perceber notas mais altas, resultantes da vibração de algumas outras cordas do piano.

Essas últimas notas são chamadas de harmônicos superiores, enquanto a nota tocada é chamada de harmônico fundamental. Harmônicos mais altos são definidos por múltiplas frequências (2F, 3F, 4F …) da frequência fundamental (F).

As cordas do piano correspondentes a essas frequências 2F, 3F, 4F … vibram em simpatia com a corda inicialmente excitada. Existem modelos físicos simples que podem explicar por que as frequências dos harmônicos superiores são múltiplos da frequência fundamental.

Você pode fazer esse experimento com outros instrumentos como o violão. Agora considere qualquer som. A onda acústica correspondente pode ser decomposta em uma soma de diferentes sinais “puros”, correspondendo aos diferentes harmônicos de som.

Podemos definir uma amplitude relativa a cada harmônico, e a coleção de todas essas amplitudes (chamada espectro) determina o timbre do som. Por exemplo, o violão e o violino são instrumentos cujo som é “rico em harmônicos”.

Comentários do site:

Se você toca violão ou se você faz um curso de violão, entenda que o termo harmônicos possui relação com uma frequência específica de vibração sonora que causa ressonância.

No estudo físico da maioria dos instrumentos, começa-se estudando o regime vibratório do instrumento (por exemplo, a vibração mecânica da corda), depois estuda-se a radiação acústica produzida (por exemplo, a vibração de o ar na caixa de som do piano).

Na verdade, podemos na maioria das vezes negligenciar a interação entre esses dois fenômenos. Para instrumentos como tímpanos ou gongos, isso não é mais possível e a modelagem física é mais complexa.

Refiro-me aos capítulos 3 a 6 de [2], onde muitos exemplos de instrumentos são estudados (incluindo a voz humana). A acústica de uma sala também pode ser modelada matematicamente. Um parâmetro importante para uma sala é o tempo de reverberação, definido como o tempo que o nível de som cai em 60 dB.

O tempo de reverberação depende da frequência do som que está sendo reproduzido. Os técnicos de som se propuseram a ajustar o tempo de reverberação brincando com o revestimento da sala.

Por exemplo, alguns painéis porosos são colocados no lugar para absorver o som. Existe uma fórmula para determinar aproximadamente o tempo de reverberação: esta é a fórmula de Sabine. Pode-se consultar o capítulo 7 de [2] para mais detalhes.

A acústica de uma sala naturalmente também depende muito de sua geometria. Você sabia que, na Idade Média, as enfermarias de peste nos hospitais tinham o formato de uma elipse?

Ao se colocar no lugar certo, a família poderia discutir com o paciente sem risco de contágio. Isso se deve a uma propriedade geométrica particular das elipses.

O mesmo fenômeno ocorre na maioria das estações de metrô parisienses. Temos observado, por exemplo, por meio de observei, por exemplo, por meio da experiência dos harmônicos superiores do piano, que a natureza é sensível às relações de frequência que são números inteiros.

É notável que sigamos a natureza quando apreciamos a harmonia de um intervalo musical.

Bibliografia

[1] BROUÉ Michel, Tonalidades musicais vistas por um matemático. www.math.jussieu.fr/~broue/tonamath.pdf Publicado em: “Le temps des savoirs”, Revue de la Institut Universitaire de France, 4, D. Rousseau & M.Morvan eds., Odile Jacob, Paris ( 2002), pp. 37-78.

[2] ZANANIRI Chérif, Música e física, Coll. Physics for all, Ellipses, Paris (2002). Projetado para o Internet Explorer versão 5 e superior Para qualquer informação entre em contato com Hubert Grall

Leia o documento original em: http://perso.ens-lyon.fr/francois.brunault/diffusion/musique.pdf

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